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\newcounter{exonum}[section]
\newenvironment{exo}{\begin{enumerate}\stepcounter{exonum}%
\renewcommand{\theenumi}{\thesection.\arabic{exonum}}%
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi.}\item}{\end{enumerate}}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\begin{document} 

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Université Joseph Fourier, Grenoble I   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence 2, Mat249                       \hfill $\bullet$ \hfill
Année 2006/2007           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
%  {\Large\bf Mathématique assistées par ordinateur} \\
  Examen du 20 juin 2007, de 07h30 à 10h30. \\
  \it Documents et calculatrices autorisés.\\
  Ce sujet comporte 2 exercices ind\'ependants. \\
{\bf Les calculatrices emprunt\'ees devront \^etre rendues en B118
  \`a l'issue de l'examen.}
\end{center}


\vspace{0.5cm}

\section{Arithm\'etique.}
D\'eterminer le terme de degr\'e $n$ ($n \in \N$) du
d\'eveloppement de Taylor en $x=0$ de
\[ f(x)=\frac{1}{2x^2-5x+2}\]

\vspace{0.5cm}

\section{Int\'egrale gaussienne.}
Le but de ce probl\`eme est la r\'esolution num\'erique de
l'\'equation en $x$~:
\[ \int_{0}^x \exp(-\frac{t^2}{2}) \ dt = \alpha \]
o\`u $\exp$ d\'esigne la fonction exponentielle et o\`u
$\alpha > 0 $ est donn\'e.

\subsection{Calcul approch\'e de l'int\'egrale}
On pose pour $x \geq 0$~:
\[ F(x)=\int_{0}^x \exp(-\frac{t^2}{2}) \ dt \]
On suppose dans cette partie que $x \in [0,5/2]$, on pose
\[ f(x)= \exp(-\frac{x^2}{2}) \]
\begin{enumerate}
\item Calculer la d\'eriv\'ee 4-i\`eme $f^{[4]}$ et 5-i\`eme $f^{[5]}$
  de $f$.
\item Montrer que $f^{[5]}(x)=xQ(x^2) \exp(-x^2/2)$ o\`u $Q$ 
est un polyn\^ome de degr\'e 2.
En d\'eduire que $\sqrt{5-\sqrt{10}}$
est l'unique racine de la d\'eriv\'ee 5-i\`eme de $f$ sur $[0,5/2]$.
\item Donner le tableau de variations de la d\'eriv\'ee 4-i\`eme de $f$.
En d\'eduire le maximum en valeur absolue de la d\'eriv\'ee
4-i\`eme de $f$ sur $[0,5/2]$ 
% -> la reponse est 3, atteint en 0
\item On souhaite avoir une valeur approch\'ee de $F(2)$ \`a
{\tt 2e-4} pr\'es par la m\'ethode de Simpson. 
Combien de subdivisions de $[0,2]$ faut-il prendre?
\item Calculer la valeur approch\'ee de $F(2)$ par la m\'ethode
de Simpson avec ce nombre de subdivisions. 
\end{enumerate}

\subsection{R\'esolution de l'\'equation}
\begin{enumerate}
\item Exprimer $F'$, la d\'eriv\'ee de $F$, en fonction de $f$, 
puis calculer sa d\'eriv\'ee seconde $F'{'}$.
Quels sont les signes de $F'(x)$ et $F'{'}(x)$ pour $x\geq 0$~?
\item En d\'eduire que l'\'equation $F(r)=\alpha$ admet une solution unique
$r\geq 0$ lorsque $\alpha< \lim_{x\rightarrow +\infty} F(x)$ 
(on admettra que $\lim_{x\rightarrow +\infty} F(x)=\sqrt{\pi/2}$).
\item On souhaite calculer une valeur approch\'ee de 
$r>0$ solution de $F(r)=\alpha$ avec $\alpha=0.96*\sqrt{\pi/2}$.
En utilisant la partie pr\'ec\'edente, montrer que $r>2$.
\item 
Montrer que la suite $(u_n)$ de la m\'ethode de Newton avec comme valeur
initiale $u_0=2$ converge vers $r$.
\item Calculer $u_1$. 
\item Donner une valeur approch\'ee de $F(u_1)$
en appliquant la m\'ethode de Simpson sur 4 subdivisions.
\item En d\'eduire un encadrement de $r$.
\end{enumerate}

\end{document}


