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\fi
\newcommand{\bs}{\symbol{92}}
\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{defn}[thm]{D\'efinition}
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% \renewcommand{\cuttingunit}{subsection} (add HEVEA after % for hacha)
\input{giacfr.tex}
\ifhevea
\(
\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}
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\newcommand{\tr}{\mbox{tr\,}}
\)
\else
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%HEVEA\htmlfoot{Retour \`a la page principale de \ahref{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\home{parisse}/giac_fr.html}{Giac/Xcas}.}
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\begin{document} 
\begin{giacjshere}

\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

{\footnotesize\noindent
Université Grenoble Alpes   \hfill $\bullet$ \hfill
Licence2, mat307                       \hfill $\bullet$ \hfill
Année 2021/2012           \\[-2mm]\hrule}

\bigskip

\begin{center}
 Corrig\'e CC de novembre 2021. \\
  
\end{center}

\section{Polaire}
\'Etude de $\rho=\cos(2\theta)/\sin(\theta)$. Pour les calculs \`a la
machine, on utilisera la variable $x$ au lieu de $\theta$, on pose
\begin{giaconload}r:=cos(2x)/sin(x)\end{giaconload}
\begin{enumerate}
\item $\rho$ est $2\pi$ p\'eriodique et $\rho(-\theta)=-\rho(\theta)$
on peut restreindre l'\'etude \`a $[0,\pi]$ (sym\'etrie $Oy$). De plus
$ r(\pi-\theta)=r(\theta)$ donc on peut restreindre \`a $[0,\pi/2]$ avec
\`a nouveau la m\^eme sym\'etrie par rapport \`a $Oy$.
Le domaine est alors $]0,\pi/2]$.
\item On a aussi
$$
\rho=\frac{1-2\sin(\theta)^2}{\sin(\theta)}=\frac{1}{\sin(\theta)}-2\sin(\theta)$$
Donc
$$ \rho'=\cos(\theta)\left(\frac{-1}{\sin(\theta)^2}-2\right) \leq 0$$
avec \'egalit\'e pour $\theta=\pi/2$.
En $0^+$, $\rho$ tend vers $+\infty$, en $\pi/2$, $\rho$ vaut -1 avec
une tangente perpendiculaire au rayon vecteur. Entre les deux $\rho$
d\'ecroit et s'annule donc en $\theta$ tel que $\cos(2\theta)=0$ soit
$\theta=\pi/4$ 
$$
\left[\begin{array}{cccccc}x&0& & \frac{\pi}{4} & &\frac{\pi }{2}
\\ \rho'&-\infty & - & & - &0
\\ \rho&+\infty 
& \downarrow & 0
& \downarrow
&-1\end{array}\right]$$
\item En $\theta=\pi/4$ $\rho$ s'annule et la tangente fait cet angle
  avec $Ox$.
\item Cf. question 2, tangente horizontale.
\item Il nous reste \`a \'etudier la branche infinie pour $\theta=0$.
$$ \lim_{\theta \rightarrow 0} \rho \sin(\theta-0) = 1$$
Donc asymptote horizontale d'\'equation $Y=1$ dans le rep\`ere
tourn\'e, mais comme $\theta=0$ le rep\`ere tourn\'e est $Oxy$.
\item 
\giacinputbigmath{trigsin(texpand(1+r*(1/r)''))}
Il n'y a donc pas de changement de convexit\'e, le num\'erateur est
plus grand que 4.
\item 
\giacinput{
gl_x=-3..3; gl_ortho=1;
plotpolar(r,x,0.01,1.57);
plotpolar(r,x,1.58,3.13,color=blue);
droite(y=x,color=red);
droite(y=1,color=green);
}
\end{enumerate}


\section{Param\'etrique}
\'Etude de 
$$ (x(t)=\cos(t)+t\sin(t),y(t)=\sin(t)-t\cos(t)), t \in
[-\frac{5\pi}{4},\frac{5\pi}{4}] $$
Pour faciliter les calculs \`a la machine, on utilise $x$ \`a la place
de la variable $t$, et on note \verb|X,Y| l'expression des
coordonn\'ees $x(t)$ et $y(t)$.
\begin{giaconload}
X:=cos(x)+x*sin(x);Y:=sin(x)-x*cos(x); X1:=X'; Y1:=Y';
\end{giaconload}
\begin{enumerate}
\item La courbe est bien d\'efinie sur
  $[-\frac{5\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]$. Si on change $t$ en $-t$, $x$
  reste constant et $y$ change de signe, on peut donc restreindre
  l'\'etude \`a $[0,\frac{5\pi}{4}]$ avec une sym\'etrie par rapport
  \`a $Ox$.
 
On a
$$ \dot{x}=t\cos(t), \dot{y}=t\sin(t)$$
Donc $\dot{x}$ s'annule en $\pi/2$ est positif avant et n\'egatif
apr\`es, $\dot{y}$ s'annule en $\pi$ est positifi avant et n\'egatif
apr\'es. D'o\`u le tableau de variations~:
$$
\left[\begin{array}{cccccccc}
t&0& &\frac{\pi    }{2}& &\pi  &&\frac{5 \pi}{4}\\
x=\cos t+t \sin  t&1&\uparrow&\frac{\pi}{2}&\downarrow&-1&\downarrow&-\pi \frac{5 \sqrt{2}}{8}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\
x'=\cos t\cdot t&0&+&0&-&-\pi &-&-\pi   \frac{5 \sqrt{2}}{8}\\
y=\sin  t-t \cos t&0&\uparrow&1&\uparrow&\pi &\downarrow&\pi
                                                              \frac{5
                                                              \sqrt{2}}{8}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\
y'=\sin   t \cdot t&0&+&
                               \frac{\pi}{2}&+&0&-&-\pi
                                                                    \frac{5
                                                                    \sqrt{2}}{8}\\
\end{array}\right]
$$
On a une tangente verticale en $t=\pi/2$, une tangente horizontale en
$t=\pi$.
\item On a un point singulier en $t=0$. Les d\'eveloppements limit\'es
  \`a l'ordre 3 donnent
$$ x=1-\frac{t^2}{2}+t^2+o(t^3)=1+\frac{t^2}{2}+o(t^3), \quad
y=t-\frac{t^3}{3!}-t(1-\frac{t^2}{2})+o(t^3)=\frac{t^3}{3}+o(t^3)$$
Il s'agit donc d'un rebroussement de premi\`ere esp\`ece avec une
tangente horizontale.
\item
\giacinput{
gl_ortho=1;
G:=plotparam([X,Y],x,0,5*pi/4);
V:=point(pi/2,1); H:=point(-1,pi);
symetrie(droite(y=0),G,color=blue);
}
\item Pour $t>0$, on a $$ ds=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2} dt
=t \, dt$$ donc la longueur de l'arc de courbe sur $[0,5\pi/4$ est
$$ \int_0^{\frac{5\pi}{4}} t \, dt =
\left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{\frac{5\pi}{4}}=\frac{25\pi^2}{32}$$
et le double pour $C$.
On v\'erifie
\giacinputbigmath{simplify(arclen([X,Y],x,0,5*pi/4))}
\item La vitesse vaut $t(\cos(t),\sin(t))$ donc le rep\`ere de
  Fr\'enet est donn\'e par
  $\overrightarrow{T}=(\cos(t),\sin(t))$
et $\overrightarrow{N}=(-\sin(t),\cos(t))$. \\
De plus
$$ \frac{d \overrightarrow{T}}{ds}= \frac{d \overrightarrow{T}}{dt}
\frac{dt}{ds}
=\overrightarrow{N} \frac{1}{t}$$
donc la courbure vaut $\kappa=\frac{1}{t}$
et le rayon de courbure vaut $t$, donc le centre de courbure
est 
$$ M+R\overrightarrow{N}=(\cos(t)+t\sin(t),\sin(t)-t\cos(t)+t
(-\sin(t),\cos(t))
=(\cos(t),\sin(t))$$
\item En $\pi/2$, on obtient le cercle de centre $(0,1)$ et rayon
  $\pi/2$,
en $\pi$ le cercle de centre $(-1,0)$ et rayon $\pi$.
\giacinput{
G:=plotparam([X,Y],x,0,5*pi/4);
V:=point(pi/2,1); H:=point(-1,pi); 
A:=point(subst(X+i*Y,x=5*pi/4));
symetrie(droite(y=0),G,color=blue); 
B:=symetrie(droite(y=0),A);
C1:=cercle(i,pi/2,color=red); C2:=cercle(-1,pi,color=red);
}
\item On a
$$ \dot{x}=t\cos(t), \ddot{x}=-t\sin(t)+\cos(t), \dot{y}=t\sin(t),
\ddot{y}=t\cos(t)+\sin(t)$$
donc le d\'eterminant de la vitesse et acc\'el\'eration vaut
$$ t\cos(t)(t\cos(t)+\sin(t))-t\sin(t)(-t\sin(t)+\cos(t))
=t^2$$
il n'y a donc pas de changement de convexit\'e.
\item On choisit d'utiliser la forme $y dx$ pour calculer l'aire,
car $dx=0$ sur le segment vertical $AB$. Sur l'arc de courbe~:
$$ y dx = y \dot{x} dt=(\sin(t)-t\cos(t)) t \cos(t)$$
d'o\`u l'aire demand\'ee~:
$$ -\int_{B}^{A} y dx=
-\int_{-5\pi/4}^{5\pi/4} (\sin(t)-t\cos(t)) t \cos(t) \ dt
$$
on termine le calcul \`a la machine, en valeur exacte 
\giacinputbigmath{-integrate(Y*X1,x,-5*pi/4,5*pi/4)}
en approch\'e cela donne environ 27.4. L'aire d'un disque de rayon 3
est $9\pi$ qui fait un peu plus de 28. C'est l'aire du cercle
osculateur en $t=\pi$ qui est assez proche (voir graphique) de
celle recherch\'ee.
\end{enumerate}

\end{giacjshere}
\end{document}

