\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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\pagestyle{empty}
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\usepackage[utf8]{inputenc}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\def\ds{\displaystyle}
\newcommand{\mathframe}[1]{\fbox{$#1$}}
\def\ima{\mathrm{Im}}

\topmargin-2.8cm
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\textwidth17.5cm
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\parindent=0pt

\pagestyle{empty}

\def\soluce#1{} % n'affiche pas les indications de solutions

\begin{document}



\noindent
M1 alg\`ebre effective  \hfill Arithm\'etique modulaire, primalit\'e \hfill UGA

\section{TD}
{\bf Exercice 0}  Quel est le cout de l'\'ecriture en base $b$ d'un
entier $n$~?


{\bf Exercice 1}
Effectuer à la main l'algorithme du PGCD binaire pour 123 et 57.
Montrer que l'algorithme du PGCD binaire appliqu\'e \`a 2 entiers
de taille au plus $n$ bits n\'ecessite au plus $O(n^2)$ op\'erations 
\'el\'ementaires (du microprocesseur).

{\bf Exercice 2}
Effectuer à la main l'algorithme d'Euclide \'etendu pour 123 et
57. En d\'eduire l'inverse de 19 mod 41.

{\bf Exercice 3}
Montrer que le calcul de l'inverse de $a$ modulo $n$ peut se faire
environ un tiers plus rapidement que le calcul des coefficients de B\'ezout pour
$a$ et $n$. Illustrer sur l'exemple de l'exercice 2.

{\bf Exercice 4}
Soit $P$ un entier de taille $O(n)$ et $q$ un entier de taille $O(1)$
avec $P$ et $q$ premiers entre eux (par exemple $P$ est le produit
de $n$ nombres premiers de taille $O(1)$).
Pour d\'eterminer $C$ tel que $C=A \pmod P$ et $C=b \pmod q$ on
r\'esout $A+uP=b+vq$ puis on pose $C=b+vq=A+uP$.
Montrer que le cout est en $O(n)$.
Illustrer avec $P=143, q=5, A=100, b=1$ (toutes les opérations doivent
avoir au moins un argument à 1 chiffre).

{\bf Exercice 5}
Soit $M$ une matrice \`a coefficients entiers de taille $n$ dont les
coefficients sont en valeur absolue plus petits que $A$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le d\'eterminant
de $M$ est en valeur absolue plus petit que $(\sqrt{n}A)^n$.
\item Soit $M$ une matrice de taille 3 \`a coefficients entiers plus petits
que 10. On a calcul\'e le d\'eterminant de $M$ modulo 19, 23 et 29 
et trouv\'e 1, 2 et 3. Que vaut le d\'eterminant de $M$~?
\item Combien de nombres premiers de taille proche de $A$ faut-il
  utiliser pour reconstruire le d\'eterminant de $M$ en utilisant
les restes chinois et la valeur du d\'eterminant de $M$ modulo ces
nombres premiers~? 
\item Estimer le cout de l'algorithme si
  le cout de calcul du d\'eterminant modulo un nombre premier
  est en $O(n^3)$.
\end{enumerate}

{\bf Exercice 6}
Effectuer papier-crayon l'algorithme de la puissance rapide (aussi appel\'e
exponentiation modulaire) pour calculer $\overline{3}^{1030}$ dans
$\Z/19\Z$.
V\'erifiez en utilisant que 19 est premier.

{\bf Exercice 7}
Soit $a$ un entier. Comparer le cout du calcul de $a^n$ en utilisant la m\'ethode de
multiplication naive ($a\times a \times ... \times a$) et
le m\^eme algorithme que l'exponentiation modulaire, mais sans modulo.

{\bf Exercice 8}
R\'esoudre dans $\Z/103\Z$ les \'equations du second degr\'e~:
$$ x^2 +3x+5=0, \quad x^2 +3x+6=0$$

{\bf Exercice 9}
Estimer le cout pour r\'esoudre une \'equation de degr\'e 2 dans
un corps $\Z/p\Z$ o\`u $p$ est un premier congru \`a 3 mod 4
de taille $O(n)$.

{\bf Exercice 10}
D\'eterminer un g\'en\'erateur de $\Z/113\Z^*$.

{\bf Exercice 11}
Estimer le cout moyen pour trouver un g\'en\'erateur de $\Z/p\Z^*$ avec
$p$ un premier de taille $O(n)$.


\section{TP}
Vous pouvez travailler avec Xcas en
l'installant sur votre propre ordinateur\\
\verb|https://www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/~parisse/install_fr|\\
ou la version web sans installation depuis votre navigateur\\
\verb|https://www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/~parisse/xcasfr.html|\\
ou sur une calculatrice compatible (Casio Graph 90/35eii, HP Prime, Numworks
N0110, TI Nspire). La version web permet d'\'echanger tr\`es facilement des sessions par
email ou de les publier sur des forums. Ces versions de Xcas sont compatibles
entre elles (par exemple: menu Fich/Clone pour passer de Xcas PC \`a
Xcas web)% ou menu Fich/Exporter pour passer vers une calculatrice).
\\
Sur les PC de la salle Carism, vous pouvez utiliser la version de Xcas 
installée en tapant \verb|xcas &| ou recompiler\\
\verb|https://www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/~parisse/giac/giac-1.9.0.tar.gz|\\
\verb|tar xvfa ~/Téléchargements/giac-1.9.0.tar.gz ; cd giac-1.9.0 ; ./configure --prefix=$HOME|\\
Puis compilez \verb|make -j| et installez \verb|make install|, puis créez un fichier \verb|runxcas| contenant\\
\verb|export LD_LIBRARY_PATH=$HOME/lib ; export XCAS_ROOT=$HOME/share/giac ; ~/bin/xcas &|\\
qui permet de lancer Xcas en tapant \verb|sh runxcas|

Xcas est un shell, un peu comme en Python, on tape une ligne de
commande ou un programme dans un \'editeur de programmes, on valide
par Enter ou OK,
et Xcas renvoie une valeur ou affiche un graphe ou indique une erreur. 
Pour vous familiariser avec les commandes de Xcas et leur syntaxe vous
pouvez utiliser les menus de Xcas (menu Outil, Expression, Graphes, Cmds),
les assistants math\'ematiques dans Xcas web, ou les menus sur
calculatrices, ainsi que l'index des commandes (menu Aide, Index dans Xcas).
La touche de tabulation permet de compl\'eter un d\'ebut de nom de
commande ou/et d'afficher l'aide sur cette commande. On peut recopier
un exemple de commande de l'aide et modifier les valeurs des
arguments. Ou suivez le tutoriel de Xcas (menu Aide,
D\'ebuter en calcul formel).

Pour saisir une matrice (liste de listes de m\^eme taille), 
on peut utiliser la commande \verb|matrix|,
ou entrer les coefficients un par un en ligne
de commandes (par exemple \verb|[[1,a],[a,1]]|)
ou avec le tableur (Tableur, nouveau tableur, donner un nom
de variable et entrer les coefficients).

Pour \'ecrire un programme, vous pouvez choisir la syntaxe compatible
Python de Xcas, la structuration d'un programme est alors identique
\`a Python (\verb|def/return, if/else, for/while|). 
Xcas propose d'autres syntaxes~: mots-clefs en fran\c{c}ais ou
compatible avec C/Javascript. V\'erifiez la configuration du logiciel dans la barre d'\'etat,
en particulier la syntaxe (compatible Python ou en fran\c{c}ais) et modifiez-la si n\'ecessaire.
 Pour mettre au point, vous
pouvez utiliser le d\'ebugger qui permet d'ex\'ecuter en pas \`a pas
un programme (commande \verb|debug|).

{\bf Faites des sauvegardes r\'eguli\`erement, faites-en
  syst\'ematiquement avant de tester un programme} (Xcas a
un m\'ecanisme de sauvegarde automatique en cas de crash, mais
deux pr\'ecautions valent mieux qu'une). Lorsque vous ouvrez une
session sauvegard\'ee, le contenu des variables est restaur\'e, sauf
si vous avez ouvert en mode de r\'ecup\'eration. Notez que le menu Edit,
Exe\'ecuter session, permet de r\'eex\'ecuter toute la session.

\subsection{Prise en main}
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire le polyn\^ome $(x+3)^7 \times (x-5)^6$ selon les puissances
d\'ecroissantes de $x$.

\item Simplifier les expressions suivantes:
\[ \quad \sqrt{3+2\sqrt{2}},
\quad \frac{1+\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}, \quad
e^{i\pi/6}, \quad 4\mbox{atan}(\frac{1}{5})-\mbox{atan}(\frac{1}{239}) \]

\item Factoriser~:
\[ x^8-3x^7-25x^6+99x^5+60x^4-756x^3+1328x^2-960x+256 \]
\[ x^6-2x^3+1, \quad (-y+x)z^2-xy^2+x^2y \]

\item Calculer les sommes suivantes
\[\sum_{k=1}^N k,\ \sum_{k=1}^N k^2,\ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\]

\item Trouver les entiers $n$ tels que le reste de la division
euclidienne de $123 n $ par 256 soit 17.

\item D\'eterminer la liste des diviseurs de 45768. Factoriser 100!

\item R\'esoudre le syst\`eme lin\'eaire:
\[ \left\{ \begin{array}{lllllll}
 x &+& y &+& az&=&1\\
 x & +& a y&+& z&=&2 \\
 ax & +&y &+& z&=&3 
\end{array}\right. \]
D\'eterminer l'inverse de la matrice du syst\`eme ci-dessus, puis la diagonaliser.
%Diagonaliser la matrice $A$.
\end{enumerate}

\subsection{Arithm\'etique modulaire et primalit\'e}

{\bf Exercice 0}
V\'erifier \`a la machine les exercices calculatoires de la partie TD.

{\bf Exercice 1} Tester le temps de calcul du produit de grands
entiers. Peut-on associer un algorithme du cours~?

{\bf Exercice 2}
Programmer l'algorithme de B\'ezout et les restes chinois.

{\bf Exercice 3} 
Comparer le temps de calcul de $a^n \pmod m$ par la fonction
\verb|powmod| et la m\'ethode prendre le reste modulo $m$ apr\`es avoir 
calcul\'e $a^n$. Impl\'ementez  l'exponentiation modulaire rapide.

{\bf Exercice 4}
Soit $p$ un nombre premier tel que la factorisation de $p-1$ soit connue.
\'Ecrire une fonction renvoyant un g\'en\'erateur de $\Z/p\Z^*$. Indication~: prendre
$a$ au hasard, v\'erifier que $a^{(p-1)/d} \neq 1 \pmod p$ pour tous
les diviseurs premiers $d$  de $p-1$.

{\bf Exercice 5} Impl\'ementer l'exercice 5 de TD pour
calculer le d\'eterminant d'une matrice \`a coefficients entiers.

{\bf Exercice 6} \'Ecrire un programme na\"if testant si $p$ est premier
par division. Discuter sa complexit\'e et exp\'erimentez.

{\bf Exercice 7} \'Ecrire un programme calculant une racine carr\'ee
(si elle existe) d'un entier $n$ modulo $p$ pour $p$ premier.

{\bf Exercice 8}
\'Ecrire un test de non primalit\'e bas\'e sur l'identit\'e 
$a^{p-1}=1 \pmod p$ pour $p$ premier et $a$ premier avec $p$. D\'eterminer les
entiers non premiers plus petits que 1000 pour lesquels le test
renvoie vrai. Majorer la complexit\'e de cette recherche.

{\bf Exercice 9} \'Ecrire un algorithme d\'eterminant la liste des nombres de
Carmichael (i.e. les entiers $n>1$ tels que $n$ n'est pas premier
mais $a^{n-1}=1 \pmod n$ si $a$ et $n$ sont
premiers entre eux) plus petits qu'un entier $N$ fix\'e. 
Estimer sa complexit\'e.

{\bf Exercice 10}
Programmer le test de Miller-Rabin. V\'erifier qu'il d\'etecte les
nombres non premiers non d\'etect\'es dans l'exercice 1.
Pour $n=561$, d\'eterminez tous les entiers $a \in [1,560]$ qui passent le test de
Miller-Rabin, v\'erifiez qu'il y a (nettement) moins d'un
quart de valeurs de $a$ qui renvoient Vrai pour ce test.

{\bf Exercice 11}
D\'etaillez le certificat de primalit\'e renvoy\'e par la commande
Xcas ou PARI/GP\\
\verb|isprime(9856989898997789789,1)|.


\end{document}

{\bf Exercice 26}
On consid{\`e}re la relation de divisibilit\'e $|$ sur $\mathbb{N} \setminus \{0,1\}$.
\begin{enumerate}
\item
Montrer qu'il s'agit d'une relation d'ordre partiel.
Poss{\`e}de-t-elle un plus petit {\'e}l{\'e}ment ? Un plus grand {\'e}l{\'e}ment ?

\item
Montrer que les nombres premiers sont les {\'e}l{\'e}ments minimaux de cette relation d'ordre.

\item
Donner l'ensemble des minorants de l'ensemble $\{24,36\}$ et v{\'e}rifier que cet ensemble poss{\`e}de
un plus grand {\'e}l{\'e}ment.
\item Soit $a \geq 2$ et $b \geq 2$ deux entiers naturels, 
Donner l'ensemble des minorants de $\{a,b\}$, montrer qu'il poss\`ede un plus grand
\'el\'ement, le d\'eterminer.
Donner l'ensemble des majorants de $\{a,b\}$, montrer qu'il poss\`ede un plus petit
\'el\'ement, le d\'eterminer.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%

\titre{Relations d'{\'e}quivalence.}

%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%

\exo{(cours)}

Soit $E$ un ensemble, $\sim$ une relation d'{\'e}quivalence sur $E$.

En utilisant seulement les d{\'e}finitions, montrer qu'on a la propri{\'e}t{\'e} suivante :

$$ \forall \, a,b\in E,~~~Cl(a)=Cl(b) ~\Leftrightarrow ~ b\in Cl(a).$$


%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

On consid{\`e}re une relation d'{\'e}quivalence $\sim$ sur un ensemble $E$.
Si $C$ est une classe d'{\'e}quivalence de cardinal $k$ de cette relation,
combien y a-t-il de relations entre deux {\'e}l{\'e}ments de $C$
(c'est-{\`a}-dire de relations $a\sim b$ avec $a,b\in C$) ?

\soluce{autant que de couples, $k^2$. C'est le nombre maximal de relations possibles au sein de $C$ (remarque utile pour la suite).}

%%%%%%%%%%%%%

\exo{(cours)}

Soit $E$ un ensemble.
Montrer que si ${\cal P} \subset {\cal P}(E)$ est une partition de $E$, alors
il existe une unique relation d'{\'e}quivalence sur $E$ dont ${\cal P}$ est l'ensemble des classes.

%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

On consid{\`e}re la relation binaire $\cal R$ d{\'e}finie sur l'ensemble $E=\{1,2,3,4,5,6\}$ par :

$$\begin{array}{cc}1 \;{\cal R}\; 1, 1 \;{\cal R}\; 2, 1 \;{\cal R}\; 6,2 \;{\cal R}\; 1,  2 \;{\cal R}\; 2, 2 \;{\cal R}\; 6,
3 \;{\cal R}\; 3, 3 \;{\cal R}\; 5,\\
4 \;{\cal R}\; 4, 5 \;{\cal R}\; 3, 5 \;{\cal R}\; 5,
6 \;{\cal R}\; 1, 6 \;{\cal R}\; 2, 6 \;{\cal R}\; 6.\end{array}$$

\qst
Montrer que $\cal R$ est une relation d'{\'e}quivalence.

\soluce{On peut faire en revenant {\`a} la d{\'e}finition des relations d'{\'e}quivalence, c'est-{\`a}-dire en v{\'e}rifiant
la r{\'e}flexivit{\'e}, sym{\'e}trie et transitivit{\'e}, mais c'est laborieux.
Il vaut mieux d{\'e}gager les classes d'{\'e}quivalence et les relations entre les {\'e}l{\'e}ments de ces classes, en
v{\'e}rifiant que dans chaque classe il y a le bon nombre de relations : $\cal R$ est la relation d'{\'e}quivalence qui a pour classes
$\{1,2,6\},\{3,5\},\{4\}$.}

\qst
\sq
Donner un syst{\`e}me de repr{\'e}sentants des classes de cette relation.

\sq
Combien y a-t-il de tels syst{\`e}mes de repr{\'e}sentants ?


%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

On consid{\`e}re la relation $\cal R$ d{\'e}finie sur $\mathbb{Z}$  par :

$$n\;{\cal R}\; m {\rm ~si~et~seulement~si~} |n|=|m|.$$


\qst
Montrer que $\cal R$ est une relation d'{\'e}quivalence. 

\qst
D{\'e}crire les classes d'{\'e}quivalence de cette relation.

\qst
Donner un syst{\`e}me de repr{\'e}sentants des classes de $\cal R$.

%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soit $E=\{1,2,3,4,5,6\}^2$ (d{\'e}crivant par exemple le r{\'e}sultat d'un tirage de deux d{\'e}s).
On d{\'e}finit la relation suivante sur $E$ :

$$(a,b)\;{\cal R}\; (c,d) {\rm ~si~et~seulement~si~} a+b=c+d.$$

\qst
Montrer que $\cal R$ est une relation d'{\'e}quivalence.

\qst
D{\'e}crire l'ensemble des classes d'{\'e}quivalence de $\cal R$ et
donner un ensemble d'entiers en bijection avec cet ensemble.

%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soit $E=\{1,2,3,4\}$.

\qst
Quel est le cardinal de ${\cal P}(E)$ ?

\medskip
On consid{\`e}re la relation sur ${\cal P}(E)$ d{\'e}finie par 
$A\;{\cal R}\; B$ si et seulement si $\dis \sum_{a\in A} a= \sum_{b\in B} b$.

\qst
Montrer que ${\cal R}$ est une relation d'{\'e}quivalence, d{\'e}crire les classes d'{\'e}quivalence de ${\cal P}(E)$ et
donner un ensemble d'entiers en bijection avec l'ensemble des classes d'{\'e}quivalence.

%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

On consid{\`e}re la relation $\cal R$ d{\'e}finie sur l'ensemble $E={\cal P}(\mathbb{Z})$ des parties de $\mathbb{Z}$ par :

$$A\;{\cal R} \;B {\rm ~si~et~seulement~si~} A\cap \NN = B\cap \NN.$$

\qst
Montrer que $\cal R$ est une relation d'{\'e}quivalence.

\qst
Montrer que l'ensemble $E/{\cal R}$ des classes d'{\'e}quivalence de $E$ est en bijection avec ${\cal P}(\NN)$.

%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soient $E,F$ deux ensembles, \fnc{f}{E}{F} une application surjective de $E$ dans $F$.
On consid{\`e}re la relation $\cal R$ d{\'e}finie sur l'ensemble $E$  par :

$$x\; {\cal R}\; y {\rm ~si~et~seulement~si~} f(x)=f(y).$$

\qst
Montrer que $\cal R$ est une relation d'{\'e}quivalence. 

\qst
Montrer que les relations d'{\'e}quivalence des exercices pr{\'e}c{\'e}dents s'obtiennent {\`a} l'aide de telles fonctions $f$.

\qst
D{\'e}crire la classe d'{\'e}quivalence d'un {\'e}l{\'e}ment $x\in E$, {\`a} l'aide de $f$.

\qst
Montrer que l'ensemble des classes d'{\'e}quivalence de $E$ est en bijection avec $F$.



%%%%%%%%%%%%%%

\titre{Relations d'ordre.}

%%%%%%%%%%%%%%

Soit $(E,\leq)$ un ensemble ordonn{\'e}. On dit que :

\begin{enumerate}

\item $a\in E$ est un {\'e}l{\'e}ment {\it minimal} si $\forall x\in E,~x\leq a \Rightarrow x=a$.

\item $a\in E$ est un {\'e}l{\'e}ment {\it maximal} si $\forall x\in E,~a\leq x \Rightarrow x=a$.

\item $a\in E$ est un {\it plus petit {\'e}l{\'e}ment} si $\forall x\in E,~a\leq x$.

\item $a\in E$ est un {\it plus grand {\'e}l{\'e}ment} si $\forall x\in E,~x\leq a$.
\end{enumerate}

Soit $A\subset E$. On dit que :

\begin{enumerate}

\item $x\in E$ est un {\it minorant} de $A$ si $\forall a\in A,~x\leq a$.

\item $x\in E$ est un {\it majorant} de $A$ si $\forall a\in A,~a\leq x$.

\item $a\in A$ est un {\it plus petit {\'e}l{\'e}ment} de $A$ si c'est un plus petit {\'e}l{\'e}ment de $(A,\leq)$.

\item $a\in A$ est un {\it plus grand {\'e}l{\'e}ment} de $A$ si c'est un plus grand {\'e}l{\'e}ment de $(A,\leq)$.
\end{enumerate}


\soluce{Demander d'exprimer ces propri{\'e}t{\'e}s sous forme de phrases en fran{\c c}ais.}

%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

On consid{\`e}re l'ensemble $E=\{2,3,6,8,9,12,16,18\}$. 
On munit cet ensemble de la relation de divisibilit{\'e} $|$ dont on admet que c'est une relation d'ordre (voir plus loin).

\soluce{Bien pr{\'e}ciser que la relation d'ordre est $|$ et non $\leq $.}

\qst
Quels sont les {\'e}l{\'e}ments minimaux, resp. maximaux, de cette relation ?
L'ensemble $E$ poss{\`e}de-t-il un plus petit {\'e}l{\'e}ment ?
un plus grand {\'e}l{\'e}ment ?

\soluce{Le diagramme de Hasse de la relation d'ordre montre bien ces {\'e}l{\'e}ments. 2,3 sont minimaux. 12,16,18 sont maximaux.
Pas de plus petit {\'e}l{\'e}ment, pas de plus grand {\'e}l{\'e}ment.}

\qst
Donner l'ensemble des minorants de chacun des ensembles suivants :

\sq
$A=\{6,8,9\}$.
\hskip 2cm
\sq
$B=\{12,18\}$.

Ces ensembles de minorants poss{\`e}dent-ils des plus grands {\'e}l{\'e}ments ?

\soluce{Pas de minorant pour $A$, 2,3,6 sont minorants pour $B$, 6 est le plus grand des minorants.}

%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soit $(E,\leq)$ un ensemble ordonn{\'e}. 

\qst
Montrer que $E$ poss{\`e}de au plus un plus petit {\'e}l{\'e}ment et au plus un plus grand {\'e}l{\'e}ment.

\qst
Montrer que si $E$ poss{\`e}de un plus petit {\'e}l{\'e}ment, alors c'est le seul {\'e}l{\'e}ment minimal de~$E$.

\qst
Donner un exemple d'ensemble ordonn{\'e} poss{\'e}dant un seul {\'e}l{\'e}ment minimal mais pas de plus petit {\'e}l{\'e}ment.

%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

\qst
Montrer que la relation de divisibilit{\'e} $|$ sur $\NN$ est une relation d'ordre.
Poss{\`e}de-t-elle un plus petit {\'e}l{\'e}ment ? Un plus grand {\'e}l{\'e}ment ?


\qst
La relation $|$ sur $\mathbb{Z}\setminus \{0\}$ est-elle une relation d'ordre ?


%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

On consid{\`e}re la relation d'ordre $|$ sur $\NN\setminus \{0,1\}$.

\qst
Montrer que les nombres premiers sont les {\'e}l{\'e}ments minimaux de cette relation d'ordre.

\qst
Donner l'ensemble des minorants de l'ensemble $\{24,36\}$ et v{\'e}rifier que cet ensemble poss{\`e}de
un plus grand {\'e}l{\'e}ment.

% %%%%%%%%%%%%%

% \exo{}

% D{\'e}crire la relation d'ordre $|$ sur l'ensemble des diviseurs de $72$.

% \soluce{Ca peut se repr{\'e}senter par un diagramme de Hasse.
% Laisser bidouiller jusqu'{\`a} obtenir un rectangle quadrill{\'e} inclin{\'e}, dans lequel
% on part vers le NO si on multiplie par 2, vers le NE si on multiplie par 3.}

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\nouvellefeuille

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