Chapitre 23  Les complexes

23.1  Module et argument

23.1.1  L’énoncé

Soit z₁=√2+i√6 et z₂=2+2i.
On pose Z=z₁/z₂.
Calculer le module et l’argument de z₁,z₂,Z.
En déduire cos(π/12) et sin(π/12).
Calculer Z²⁰⁰⁹

23.1.2  La correction avec Xcas

On tape :
z1:=sqrt(2)+i*sqrt(6)
z2:=2+2*i
Z:=z1/z2
On tape pour avoir les modules :
simplify(abs(z1,z2,Z))
On obtient : 2*sqrt(2),2*sqrt(2),1
On tape pour avoir les arguments :
simplify(arg(z1,z2,Z)
On obtient : [pi/3,pi/4,pi/12]
On tape :
simplify(re(Z),im(Z))
On obtient : (sqrt(2)+sqrt(6))/4,(-sqrt(2)+sqrt(6))/4
Donc

Puisque Z a comme module 1 et comme argument π/12,, on sait que le module de P=Z²⁰⁰⁹ est 1 et que son argument vaut 2009π/12.
On tape :
iquorem(2009,24)
On obtient : [83,17] i.e. 2009=24*83+17.
Donc puisque 2009π/12=83*2π+17π/12, l’argument de P est :
17π/12 mod2π ou encore pour être dans ]−π;π], l’argument de P est :
−7π/12=−π/2−π/12.
Pour avoir la partie réelle et la partie imaginaire de P on calcule :
cos(−π/2−π/12)=−sin(π/12)= √2−√6/4 et
sin(−π/2−π/12)=−cos(π/12)=−√2+√6/4
Ou on tape :
P:=simplify(Z^2009)
On obtient : (sqrt(2)+(-i)*sqrt(6))/(2+2*i)
On tape :
simplify(re(P),im(P))
On obtient : (sqrt(2)-sqrt(6))/4,(-sqrt(2)-sqrt(6))/4
On tape :
simplify(abs(P),arg(P))
On obtient : 1,(-7*pi)/12

23.2  Une transformation

23.2.1  L’énoncé

Soit f(z)=1/2(z+1/z).
On note M le point d’affixe z et N le point d’affixe Z=f(z).
On note A le point d’affixe −1 et B le point d’affixe 1.

• Calculer f(−i) et résoudre l’équation f(z)=2.
• Résoudre l’équation f(z)=z
• Calculer pour Z ≠ 1, Z+1/Z−1 et en déduire que si N≠ B:

  NA NB

  =

  MA2 MB2

  .
• Trouver le lieu de N lorsque M se déplace sur la médiatrice du segment AB.
• Trouver le lieu de N lorsque M se déplace sur le cercle de diamètre AB.

23.2.2  La correction avec Xcas

On coche Complexe dans la configuration du CAS et si on coche Variables_complexes on est obligé de mettre assume Y,real) si on veut que la variable Y soit réelle.
Dans ce qui suit on suppose que l’on a coché Variables_complexes (si ce n’est pas le cas on peut enlever toutes les commandes assume).
On tape :
f(z):=1/2*(z+1/z)

• Calcul de f(−i) et résolution de l’équation f(z)=2. On tape :
  f(-i)
  On obtient : 0
  On tape :
  csolve(f(z)=2,z)
  On obtient : [-sqrt(3)+2,sqrt(3)+2]
  donc le point d’affixe 2 a deux antécédents : les points d’affixe −√3+2 et √3+2
• Réslution de l’équation f(z)=z On tape :
  csolve(f(z)=z,z)
  On obtient : [-1,1]
  donc les points doubles de f sont les points A et B.
• Calcul pour Z!=1 de Z+1/Z−1 On tape :
  factor((f(z)+1)/(f(z)-1))
  On obtient : ((z+1)^2)/((z-1)^2)
  donc NA/NB=(MA/MB)²
• Lorsque M se déplace sur la médiatrice du segment AB on a MA=MB ou encore |z+1|=|z−1|.
  Donc d’aprés ce qui précéde on a |Z+1|/|Z−1|=1 donc N se déplace sur la médiatrice du segment AB.
  Réciproquement, si |Z+1|=|Z−1| on en déduit que |z+1|²=|z−1|² donc que M se déplace sur la médiatrice du segment AB.
  On tape puisque la médiatrice de AB est l’axe des y :
  assume(y,real)
  simplify(f(i*y))
  On obtient : ((i)*y^2-i)/(2*y)
  On tape :
  re(f(i*y))
  On obtient : 0
  On tape :
  re(f(i*y))
  On obtient : 0
  Pour la réciproque , on tape :
  assume(Y,real)
  sol:=simplify(csolve(f(z)=i*Y,z))
  On obtient : [(i)*Y+sqrt(-Y^2-1),(i)*Y-sqrt(-Y^2-1)]
  On tape :
  real(sol)
  On obtient : [0,0]
  On tape :
  simplify(im(sol))
  On obtient : [Y+sqrt(Y^2+1),Y-sqrt(Y^2+1)]
  
• M se déplace sur le cercle de diamètre AB qui est aussi le cercle de centre O et de rayon 1. Donc z=e^it avec 0≤ t≤ 2*π.
  Donc d’aprés ce qui précéde on a :
  Z+1/Z−1=(z+1/z−1)² donc arg((Z+1)/(Z-1))=2*arg((z+1)/(z-1)).
  On a arg((z+1)/(z-1))=arg(z+1)-arg(z-1) et cela est la mesure de l’angle (MB,MA) qui vaut +/−π/2 car M se déplace sur le cercle de diamètre AB. Donc arg((Z+1)/(Z-1))=pi et N se déplace sur la droite AB. On sait d’après la question 1 que le point d’affixe 2 ne fait pas partie du lieu, donc on fait une réciproque. Pour cela on résout f(z)=X i.e. z²−2Xz+1=0 le discriminant vaut X²−1 donc si X<1 ou si X>−1 les solutions sont réelles et l’anrécédent de N ne se trouve pas sur le cercle de diamètre AB. Si −1≤ X ≤ 1 les solutions sont : z=X+i√1−X² et z=X−i√1−X² qui sont les affixes de 2 points du cercle de centre O et de rayon 1 (|z|²=X²+(1−X²)=1). On tape avec Xcas :
  assume(t,real)
  simplify(exp2trig(f(exp(i*t))))
  On obtient : cos(t)
  donc N se déplace sur le segment AB on a Z=cos(t) avec 0≤ t≤ 2*π.
  Pour la réciproque, N se déplace sur le segment AB donc Z=cos(t) avec 0≤ t≤ 2*π.
  On tape :
  sol:=csolve(f(z)=cos(t),z)
  On obtient : [sqrt(cos(t)^2-1)+cos(t),-sqrt(cos(t)^2-1)+cos(t)]
  On tape :
  simplify(trig2exp(sol))
  On obtient : [exp((i)*t),1/(exp((i)*t))] Donc M se trouve sur le cercle de centre O et de rayon 1.