Chapitre 17  Exemples de courbes en paramétrique

17.1  Les cycloïdes

17.1.1  La cycloïde

La courbe

Une cycloïde est le lieu d’un point M situé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite.
Si au départ M est à l’origine O, si le cercle C, de centre A et rayon R, roule sur l’axe des x, si P est le point de contact de C avec Ox lorsque C a tourné d’un angle t, on a :
OP=Rt,AP=−iR et AM=rotation(A,−t,AP)=−Ri(cos(−t)+isin(−t))=−Rsin(t)−Ricos(t) donc
OM=OP+PA+AM=Rt+iR−Rsin(t)−Ri(cos(t))=R(t−sin(t)+i(1−cos(t)))
L’équation paramétrique d’une cycloïde est donc :

Avec Xcas
On tape :

R:=element(0..5);
plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t,affichage=rouge);

On peut faire une animation pour voir le déplacement d’un point M d’un cercle C de rayon R lorsque C roule sur l’axe des x.
On tape :

R:=element(0..5);
plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t=-10..10,affichage=rouge);
animation(seq('cercle(R*u+i*R,R)',u,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(R*(u-sin(u)+i*(1-cos(u))))',u,-10,10,0.5));
animation(seq('segment(R*u+i*R,R*(u+i-i*exp(-i*u)))',u,-10,10,0.5));

On peut aussi faire une animation pour voir l’infuence du rayon R, mais ici, cela n’a pas beaucoup d’interêt.
On tape :

animation(seq('plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),
               t=-10..10,affichage=rouge)',R,0,3,0.1));

La longueur d’une arche de cycloïde

On peut calculer la longueur d’une arche de cycloïde.
On a : ds²=dx²+dy² On tape :
tlin(diff(R*(t-sin(t)),t)^2+diff(R*(1-cos(t)),t)^2)
On obtient : 2*R^2+(-2*R^2)*cos(t)
On tape :
trigsin(halftan(2*R^2+(-2*R^2)*cos(t))) On obtient : 4*R^2*sin(t/2)^2
Quand t varie de 0 à 2π, la longueur d’une arche de cycloïde est :
normal(int(2*R*sin(t/2),t,0,2*pi))
On obtient : 8*R

17.1.2  La cycloïde raccourcie

Une cycloïde raccourcie est le lieu d’un point P situé sur un rayon AM du cercle de centre A qui roule sans glisser sur une droite.
Si AP=k*AM=k*R avec k<1, l’équation paramétrique d’une cycloïde raccourcie est donc :

Avec Xcas, on tape :

R:=element(0..3);
k:=element(0..1);
plotparam(R*(t-k*sin(t)+i*(1-k*cos(t))),t,affichage=rouge);

17.1.3  La cycloïde allongée ou trochoïde

Une cycloïde allongée ou trochoïde est le lieu d’un point Q situé sur le prolongement du rayon AM du cercle de centre A qui roule sans glisser sur une droite.
Si AQ=k*AM=k*R avec k>1, l’équation paramétrique d’une cycloïde allongée donc :

Avec Xcas, on tape :

R:=element(0..3);
k:=element(1..5);
plotparam(R*(t-k*sin(t)+i*(1-k*cos(t))),t,affichage=rouge);

17.1.4  Les cycloïdes

On peut faire une animation pour voir le déplacement d’un point M d’un cercle C de centre A et de rayon R, et d’un point P du rayon AM lorsque C roule sur l’axe des x.
On tape :

R:=element(0..3);
k:=element(0..5,0.84);
plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t=-8..8,affichage=rouge);
plotparam(R*(t-k*sin(t)+i*(1-k*cos(t))),t=-8..8,affichage=vert);
animation(seq('cercle(R*u+i*R,R)',u,-8,8,0.5));
animation(seq('M:=point(R*(u-sin(u)+i*(1-cos(u))))',u,-8,8,0.5));
animation(seq('P:=point(R*(u-k*sin(u)+i*(1-k*cos(u))))',u,-8,8,0.5));
animation(seq('segment(R*u+i*R,R*(u+i-i*max(k,1)*exp(-i*u)))',u,-8,8,0.5));

On peut aussi faire une animation pour voir le déplacement d’un point M d’un cercle C de centre A et de rayon R, d’un point P du rayon AM et d’un point Q sur le prolongement du rayon AM lorsque C roule sur l’axe des x.
On tape :

R:=element(0..3);
k:=element(0 .. 1,0.84);
l:=element(1 .. 4,2);
plotparam(R*(t-sin(t)+i*(1-cos(t))),t=-10..10,affichage=rouge);
plotparam(R*(t-k*sin(t)+i*(1-k*cos(t))),t=-10..10,affichage=vert);
plotparam(R*(t-l*sin(t)+i*(1-l*cos(t))),t=-10..10,affichage=bleu);
animation(seq('cercle(R*u+i*R,R)',u,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(R*(u-sin(u)+i*(1-cos(u))))',u,-10,10,0.5));
animation(seq('P:=point(R*(u-k*sin(u)+i*(1-k*cos(u))))',u,-10,10,0.5));
animation(seq('Q:=point(R*(u-l*sin(u)+i*(1-l*cos(u))))',u,-10,10,0.5));
animation(seq('segment( R*u+i*R, R*(u+i-i*l*exp(-i*u)))',u,-10,10,0.5));

17.2  Épicycloïde et hypocycloïde

17.2.1  Épicycloïde

Une épicycloïde est le lieu d’un point M situé sur un cercle C, de centre A et de rayon R, qui roule sans glisser sur un cercle C₀, de rayon R₀, lorsque C se trouve à l’extérieur de C₀.
Si le cercle C₀ est de centre O, si au départ M est en I sur Ox, si P est le point de contact de C avec C₀ lorsque C a tourné d’un angle u, P a tourné d’un angle t sur C₀, on a :
IP=R₀t=Ru,
OA=(R+R₀)(cos(t)+isin(t))=(R+R₀)exp(it),
PA=R(cos(t)+isin(t)),
AM=rotation(A,u,AP)=−R(cos(t)+isin(t))(cos(u)+isin(u))=
−R(cos(u+t)+isin(u+t))=−R(cos((R₀/R+1)t)+isin((R₀/R+1)t))
On a :
OM=OA+AM= (R+R₀)(exp(it))−Rexp(i(R₀/R+1)t)
On pose R₀/R+1=m, on a R+R₀=Rm.
Donc l’équation paramétrique d’une épicycloïde est :

La courbe se referme si 2kπ R₀=2nπ R c’est à dire si le rapport R₀/R est rationnel.

Cas particuliers
R=R₀ on a une cardioïde,
R=R₀/2 on a une néphroïde de rebroussement,
Avec Xcas
On tape :

C:=cercle(0,3);
R:=element(0.1..4);
m:=3/R+1;
plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
          t=-10..10,affichage=rouge);

On a choisit R₀=3. On peut ainsi faire varier R et voir les 4 cas :
R=1, R=1.5, R=3, R=4. On peut faire une animation et voir le déplacement d’un point M d’un cercle C de centre A et de rayon R lorsque ce cercle roule à l’extérieur d’un cercle C0 de centre 0 et de rayon 3.
On tape :

C:=cercle(0,3);
R:=element(0..5);
m:=3/R+1;
plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
       t=-10..10,affichage=rouge);
animation(seq('cercle((3+R)*exp(i*v),R)',v,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(R*m*cos(v)-R*cos(m*v)+
       i*(R*m*sin(v)-R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5));

17.2.2  Hypocycloïde

Une hypocycloïde est le lieu d’un point M situé sur un cercle C, de centre A et de rayon R, qui roule sans glisser sur un cercle C₀, de rayon R₀>R, lorsque C se trouve à l’intérieur de C₀.
On peut changer R en −R dans l’équation d’une épicycloïde ou refaire les calculs...
Si le cercle C₀ est de centre O, si au départ M est en I sur Ox, si P est le point de contact de C avec C₀ lorsque C a tourné d’un angle u, P a tourné d’un angle t sur C₀, on a :
IP=R₀t=−Ru (car u est négatif et R positif),
OA=(R₀−R)(cos(t)+isin(t)),
PA=−R(cos(t)+isin(t)),
AM=rotation(A,u,AP)=R(cos(t)+isin(t))(cos(u)+isin(u))=R(cos(u+t)+isin(u+t))=−R(cos((R₀/R−1)t)+isin((R₀/R−1)t))
On a :
OM=OA+AM=(R₀−R)(cos(t)+isin(t))−R(cos((R₀/R−1)t)+isin((R₀/R−1)t))
Si on pose −R₀/R+1=m, l’équation paramétrique d’une hypocycloïde est donc :

La courbe se referme si 2kπ R₀=2nπ R c’est à dire si le rapport R₀/R est rationnel.

Cas particuliers
R=2R₀/3 on a une hypocycloïde à 3 rebroussements,
R=R₀/4 on a une astroïde.
Avec Xcas
On tape :

C:=cercle(0,3);
R:=element(0..2.9);
m:=-3/R+1;
plotparam(-R*m*cos(t)+R*cos(m*t)+i*(-R*m*sin(t)+R*sin(m*t)),
           t,affichage=rouge)

On a choisit R₀=3. On peut ainsi faire varier R et voir les 3 cas :
R=0.75, R=1.2, R=2.

On peut faire une animation et voir le déplacement d’un point M d’un cercle C de centre A et de rayon R lorsque ce cercle roule à l’intérieur d’un cercle C0 de centre 0 et de rayon 3.
On tape :

C:=cercle(0,3);
R:=element(0..3);
m:=3/R+1;
plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
       t,affichage=rouge);
animation(seq('cercle((3-R)*exp(i*v),R)',v,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(-R*m*cos(v)+R*cos(m*v)+
       i*(-R*m*sin(v)+R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5));

17.2.3  Epicycloïde et hypocycloïde

On peut unifier les 2 cas en prenant R négatif pour les hypocycloïde.
Avec Xcas
On tape :

C:=cercle(0,3);
R:=element(-3..4);
m:=3/R+1;
plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
          t=-10..10,affichage=rouge)

On a choisit R₀=3. On peut ainsi faire varier R et voir les différents cas :
R=−1.2, R=−1, R=−0.75, R=1, R=1.5, R=3, R=4. On peut faire une animation et voir le déplacement d’un point M d’un cercle C de centre A et de rayon |R| lorsque ce cercle roule (à l’intérieur si R<0 et à l’extérieur si R>0) sur le cercle C0 de centre 0 et de rayon 3.
On tape :

C0:=cercle(0,3);
R:=element(-3..4);
m:=3/R+1;
plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
       t=-10..10,affichage=rouge);
animation(seq('cercle((3+R)*exp(i*v),R)',v,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(R*m*cos(v)-R*cos(m*v)+
       i*(R*m*sin(v)-R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5));
animation(seq('segment((3+R)*exp(i*v),R*m*cos(v)-R*cos(m*v)+
       i*(R*m*sin(v)-R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5));

17.3  L’astroïde

On pourra se reporter à la session astroide.xws.

17.3.1  La courbe

Définition On déplace un segment AB de longueur constante a de façon que A soit sur 0x et B sur Oy.
L’astroïde est l’enveloppe de ce segment.
L’astroïde est aussi le lieu de la projection M de C sur AB, lorsque OACB est un rectangle. Si OACB est un rectangle et si t est l’angle 0x,0C, on a :
0A=acos(t) et 0B=asin(t)
La droite AB a donc comme équation :
x/(acos(t))+y/(asin(t))=1 ou encore
x*tan(t)+y=asin(t)
L’enveloppe de la droite AB est le lieu des points d’intersection de :
x*tan(t)+y=asin(t) et de x/cos(t)²=acos(t)
donc x=acos(t)³ et y=asin(t)−asin(t)*cos(t)²=asin(t)³.
L’astroïde a donc comme équation paramètrique : x=acos(t)³;y=asin(t)³.
On tape :
plotparam(cos(t)^3+i*sin(t)^3,t)

17.3.2  La longueur de cette courbe

On peut calculer la longueur d’un quart d’astroïde.
On a : ds²=dx²+dy²
On tape :
tlin(diff(a*cos(t)^3,t)^2+diff(a*sin(t)^3,t)^2)
On obtient : (9*a^2)/8+(-((9*a^2)/8))*cos(4*t)
On tape :
trigsin(halftan((9*a^2)/8+(-((9*a^2)/8))*cos(4*t)))
On obtient : 9/4*a^2*sin((4*t)/2)^2
Quand t varie de 0 à 2π, la longueur d’un quart d’astroïde est :
normal(int( 3/2*a*sin(2*t),t,0,pi/2))
On obtient : 3/2*a
On a la longueur de l’astroïde est donc : 6*a

17.4  Le trifolium de paramètres a et b

17.4.1  Définition géométrique

Soient un repère orthonormé O,i,jet 2 réels a et b.
Soientt le cercle C de centre J=(a,b) et passant par O et une droite d passant par O. d coupe C en P. Sur la parraléle à Ox menée par P, on définit M et N par OM=On=OP.
Le lieu de M et N est un trifolium de paramètres a et b. On tape :

O:=point(0);
supposons(a=[1.0,-5,5,0.1]);
supposons(b=[0.5,-5,5,0.1]);
C:=cercle(point(2a+i*2b),O);
supposons(c=[1.53,(-pi)/2,pi/2,0.01]);
P:=inter_unique(C,d,[O]);
l:=simplify(tan2sincos(trigcos(trigtan(longueur(O,P)))));
M:=P+l;
N:=P-l;
trace(M);
trace(N);
m:=simplify(trigcos(trigtan(affixe(M))));
affichage(plotparam(m,c),1);

On obtient :
La valeur de affixe(P) apres simplification :
2*(cos(c)+(i)*sin(c))*(a*cos(c)+b*sin(c))
La valeur de l=longueur(O,P) apres simplification :
2*a*cos(c)+2*b*sin(c)
La valeur l est périodique en c de période 2π et donc selon les valeurs de a,b,c, l est soit positive soit négative.
et la valeur de m=affixe(M):
2*a*cos(c)^2+2*a*cos(c)+2*b*cos(c)*sin(c)+2*b*sin(c)+
(i)*(2*a*cos(c)*sin(c)-2*b*cos(c)^2+2*b)
m est donc l’affixe de M quand l>0 et l’affixe de N quand l<0.

L’équation paramétrique du trifolium de paramètres a et b est donc :
2*(cos(c)+(i)*sin(c)+1)*(a*cos(c)+b*sin(c)), c∈ [−π;π].
On a :
x(c)=2(cos(c)+1)(acos(c)+bsin(c))
y(c)=2sin(c)(acos(c)+bsin(c))
Cas particulier b=0
L’équation paramétrique du trifolium de paramètres a et b=0 est donc :
x(c)=2a(cos(c)+1)cos(c)=a(cos(2c)+2cos(c)+1)
y(c)=2asin(c)cos(c)=asin(2c)
On le retrouve dans l’exercice suivant mais dans un repère d’origine différente.

17.4.2  Exercice : le trifolium (avec b=0)

Le plan est muni d’un repère orthonormé O,i,j. Soit C le cercle de centre O et de rayon r.
A tout point M de C on associe le point N de C tel que :
(i,ON)=2(i,OM).
Soit P le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses.
Soit G le centre de gravité du triangle MNP.
Le lieu de G décrit un trifolium qui est une courbe d’équation paramétrique :
x(t)= a/3(2cos(t)+cos(2t))
y(t)= a/3sin(2t) On tape (prend r=4) :

C:=cercle(0,4)
supposons(a=[0.6,-5,5,0.1])
M:=point(4*exp(i*a))
N:=point(4*exp(2*i*a))
P:=point(4*exp(-i*a))
G:=isobarycentre(M,N,P)
lieu(G,a)

On obtient :
On tape :
trigcos(re(affixe(G))+i*im(affixe(G)))
On obtient :
8/3*cos(a)+4/3*cos(a*2)+4*i/3*sin(a*2)

17.5  Le folium de Descartes

Le plan est muni d’un repère orthonormé O,i,j.
Etant donné p un nombre réel, soient la parabole P d’équation (x+y)²=2b(x−y) et la parabole p d’équation (x−y)²=2b(x+y).
Pour chaque u réel, la droite D d’équation y=tan(u)x coupe P en A et p en B. Soit M le conjugué harmonique de O par rapport à A et B. Le lieu de M est un folium de Descartes de paramètre a.
On tape :

supposons(b=[0.375,-5,5,0.005]);
P:=parabole((x+y)^2-b*(x-y));
p:=parabole((x-y)^2-b*(x+y));
supposons(u=[0.2,-pi,pi,0.005]);
D:=droite(y=tan(u)*x);
A:=inter(D,P)[1];
B:=inter(D,p)[1];
M:=conj_harmonique(A,B,point(0));
trace(M);
L:=lieu(M,u):;affichage(L,1);

On obtient :

On tape :
m:=affixe(M)
On obtient :
((-i)*b*tan(u)^3-b*tan(u)^2+i*b*tan(u)+b)/(3*tan(u)^2+1) On tape :
normal(abs(m))
On obtient :
((-tan(u)^2+1)*sqrt(tan(u)^2+1)*b)/(3*tan(u)^2+1) Le folium de Descartes a donc comme équation polaire :
r=b1−tan(u)²/cos(u)(1+3tan(u)²)
Remarque
Le folium de Descartes se déduit de la trisectrice de Mac-Laurin (d’équation polaire r=b/3(4cos(t)−1/cos(t)) cf section suivante) par une affinité de direction Oy et de rapport 1/√3.
En effet considérons l’affinité de direction Oy et de rapport √3 qui transforme P en M.
On a :

x_M=x_P et y_M=y_P*√(3)
Donc tan(u)=tan(t)/√(3) et OM=x_M/cos(t) et OP=x_M/cos(u) OM=OPcos(u)/cos(t)=b(1−tan(u)²)/(3*tan(u)²+1)/cos(t) On a 3tan²(u))=tan(t)² donc
OM=b/3*(3−tan(t)²)/(tan(t)²+1)/cos(t)
OM=b/3*(3−tan(t)²)*cos(t)=b/3*(3cos(t)−sin(t)²/cos(t))
OM=b/3*(3cos(t)+cos(t)−1/cos(t))=b/3(4cos(t)−1/cos(t))
On tape :
affichage(plotpolar(0.6/3*(4*cos(t)-1/cos(t)),t),1)
plotpolar(0.6*(1-tan(u)^2)/cos(u)/(1+3*tan(u)^2),u)
On obtient en rouge la trisectrice de Mac-Laurin et en noir la folium de Descartes. La courbe en rouge se déduit de la courbe en noir par une affinité de direction Oy et de rapport √3.
:

17.6  La trisectrice de Mac-Laurin

La trisectrice de Mac-Laurin de paramètre a est la courbe d’équation paramétrique :
x(t):=a3−t²/t²+1
y(t):=at(3−t²)/t²+1
Tracer sa représentation paramétrique et calculer l’aire de la boucle. Cette courbe a été étudié par Mac-Laurin vers 1742.
C’est une cubique circulaire unicursale. La boucle est obtenue pour t∈ [−√3,√3]. On tape dans un niveau de géométrie :
supposons(a=[-1.0,-5,5,0.1])
plotparam((3-t^2)*(1+i*t)/(t^2+1))
On obtient pour a=−1 :

On tape :
int(2*t*a*(3-t^2)/(t^2+1)diff(a*(3-t^2)/(t^2+1),t),t,sqrt(3),0) On obtient : 3*sqrt(3)*a^2

17.6.1  Construction géométrique

On peur donner de cette courbe a plusieurs constructions géométriques.
En voici :
Soit a un nombre réel.
Dans un repère orthonormé O,i,j, on considère une droite d et les points :
A(2a,0), S(3a,0).
Soit P le point de d d’angle polaire t défini par OP=PA et soit M le point de d défini par AM=AP.
Quel est le lieu de M ?
Dans un niveau de géométrie, on tape :

supposons(a=[1.0,-5,5,0.1]);
supposons(t=[0.5,-5,5,0.1]);
A:=point(2a);
S:=point(3a);
P:=point(a+i*a*tan(t));
O:=point(0);
d:=droite(y=tan(t)*x):;d;
M:=point(2a+a/cos(t)*exp(3*i*t));
trace(M);
triangle(A,P,M);
angle(O,A,P,"t");

On obtient selon les valeurs de t et pour a=1 :


Montrons que le lieu de M est la trisectrice de Mac-Laurin de paramètre a.
Les triangles OAP et PAM sont isocèles donc on a :
(OA, OP)=t, (PA,PM)=2t, (AS,AM)=3t.
Cette courbe à été utilisée pour avoir une solution graphique au problème de la trisection de l’angle, d’où son nom de trisectrice.
Calculons OP=PA=AM :
On a : cos(t)=a/OP donc AM=OP=a/cos(t)
Dans le repère orthonormé A,i,j, l’équation polaire du lieu est donc r=a/cos(θ/3) (puisque (AS,AM)=3t=θ)
On retrouve alors l’aire de la boucle ((3*sqrt(3))/2*a^2) en tapant :
int(int(r,r,0,a/cos(t/3)),t,0,pi)
Le point M a donc comme coordonnées : 2a+acos(3t)/cos(t),asin(3t)/cos(t)
Donc OM²=4a²+a²/cos(t)²+4a²cos(3t)/cos(t) Comme cos(3t)=cos(t)³−3cos(t)(1−cos(t)²)=4cos(t)³−3cos(t)
On a OM²=4a²+a²/cos(t)²+16a²cos(t)²−12a²=(4acos(t)−a/cos(t))²
Dans le repère orthonormé O,i,j, l’équation polaire du lieu est donc :
r=a(4cos(t)−1/cos(t))
Les coordonnées de M sont donc : xM+iyM=r*exp(it)
On tape :
z:=a*(4*cos(t)-1/cos(t))*exp(i*t)
xM:=re(z);yM:=im(z)
trigsin(xM*(xM^2+yM^2)-a*(3*xM^2-yM^2))
On obtient : 0
L’équation cartésienne est donc :
x(x²+y²)−a(3x²−y²)=0
ou encore : y²(x+a)=x²(3a−x)
Dans le repère orthonormé O,i,j, l’équation paramétrique du lieu est donc en posant y=tx :
x=a(3a−t²)/(1+t²),y=t*x=at(3a−t²)/(1+t²)
On peut créer une animation qui montre que la trisectrice de Mac-laurin est le lieu des points qui sont l’intersection de 2 droites qui tournent l’une autour de O à la vitesse angulaire t et l’autre autour de A à la vitesse angulaire 3t.
On tape (pour a=1):
d(t):=droite(y=tan(t)*x);D(t):=droite(y=tan(3*t)*(x-2));
M(t):=inter_unique(d(t),D(t),affichage=1+epaisseur_point_2)
puis sur un même niveau :
plotpolar(4*cos(t)-1/cos(t),t,-pi,pi);A:=point(2);
animation(seq([d(t),D(t),M(t)],t,-3,3,0.05))
On obtient :

On peut aussi montrer que la trisectrice de Mac-laurin est le lieu de la projection de O sur les tangentesà la parabole p d’équation y²=4ax−12a² (c’est la podaire de p par rapport à O). p a comme foyer le point de coordonnées (4a,0) et comme directrice la droite d’équation x=2a.
On tape :

supposons(a=[1.3,0,5,0.1]);
p:=plotparam(3a+(t^2)/(4*a)+(i)*t,t=-10.0..10.0);
supposons(t=[-9.0,-10,10,0.2]);
T:=mediatrice(point(4a),point(2a+i*t));
M:=projection(T,point(0));;
trace(M);
segment(0,M);
O:=point(0);

On obtient :
Pour faire une animation, on tape dans un même niveau :
p:=plotparam(3+(t^2)/(4)+(i)*t,t=-10.0..10.0);
plotpolar(4*cos(t)-1/cos(t),t,-pi,pi);O:=point(0);
animation(seq([mediatrice(point(4),point(2+i*t)),
segment(M:=projection(T,O),O),
affichage(M,1+epaisseur_point_2)],t,-10,10,0.1))
et on obtient l’animation souhaitée. Autre définition Soit le cercle C de centre (4a,0) et la droite D d’équation x=−2a. Un droite d pivote autour de O et coupe C en P et D en Q. Le milieu M de PQ décrit alors une trisectrice de Mac-Laurin de paramètre a, de point double O et d’asymptote x=−a.
On tape :

supposons(a=[1.3,0,5,0.1]);
p:=plotparam(3a+(t^2)/(4*a)+(i)*t,t=-10.0..10.0);
cercle(4*a,4*a);
D:=droite(x=-2a);
supposons(t=[-9.0,-10,10,0.2]);
d:=droite(y=tan(t)*x):;d
P:=point(8a*cos(t)*exp(i*t));
Q:=point(-2a*(1+i*tan(t)));
M:=milieu(P,Q);
trace(M);
O:=point(0);

On obtient :

17.7  Un exercice

17.7.1  L’énoncé

On considère la fonction g ℝ−>ℂ définie par : g(t)=∑_n=0^+∞e^i2nt/2ⁿ

1. Montrer que g est périodique.
   Calculer g(−t) et sup_{t∈ ℝ}|g(t)|.
   Majorer l’erreur commise lorsqu’on prend : ∑_n=0²⁰e^i2nt/2ⁿ comme valeur approchée de g(t)
2. En utilisant Xcas dessiner l’image de ℝ par cette approximation de g.

17.7.2  Le corrigé

1. On a g(t+2π)=g(t) donc g est périodique de période 2π.
   On a g(−t)=g(t).
   On a |e^i2nt/2ⁿ|<1/2ⁿ donc sup_{t∈ ℝ}|g(t)|<=∑_n=0^+∞1/2ⁿ=2.
   Si on prend : ∑_n=0²⁰e^i2nt/2ⁿ comme valeur approchée de g(t) l’erreur commise est inférieure à : ∑_n=21^+∞1/2ⁿ=1/2²⁰<1e−06
2. On définit la fonction g et on tape :
   g(t):=sum(exp(i*2^n*t)/2^n,n=0..20)
   L’image de ℝ par g est la courbe en paramétrique définie par g. On tape :
   plotparam(g(t),t=0..pi);plotparam(g(t),t=pi..2pi,affichage=1)
   On visualise la symétrie de la courbe par rapport à l’axe des x, symétrie due au fait que g(−t)=g(t) et on obtient :